Kaalkulasii

Shallaggoo (Kaalkulasii)
	Shallaggoon Wajjummaa bal'ina naannoo daangeffame (isa halluu diimaa) shallaguuf fayyada.
Odeeffannoo Waliigalaa
Yaad-rimeewwan Gurguddoo
Yaad-rimee Ijoo	Daangaa, Shifii, Babbaafama (Derivative), Wajjummaa (Integral)
Seenaa fi Ogeessota
Ogeessota Gurguddoo	Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Archimedes, Madhava, Pierre de Fermat
Hojirra Oolmaa fi Walqabatii
Faayidaa Hojirraa	Fiiziksii, Injinariingii, Dinagdee, Istaatistiksii, Kompiyuutara Saayinsii, Xiinjiree
Dameewwan Walqabatan	Aljebraa, Ji'oomeetirii, Xiinxala Herregaa

Shallaggoon (ykn Kaalkulasiin) damee herregaa guddaa kan waa'ee jijjiirama walitti fufiinsa qabu qoratuudha. Innis akkaataa hangoonni (quantities) itti jijjiiraman, kuufaman, fi walitti dhufeenya uuman xiinxala. Shallaggoon afaan saayinsii fi tekinooloojii ammayyaa jedhamee beekama, sababni isaas yaad-rimeen uumamaa hedduun kan akka sochii, guddinaa, fi humni jijjiirama of keessaa qabu.

Yaad-rimeen shallaggoo inni ijoon daangaa (limit), babbaafama (derivative), wajjummaa (integral), fi walgaafaa dhummaleessa (infinite series) dha. Yaad-rimeewwan kun dameewwan gurguddoo lama jalatti qoratamu: Shallaggoo Garaagarummaa (Differential Calculus) fi Shallaggoo Wajjummaa (Integral Calculus). Dameewwan kun lamaan yaad-rimee wal-faallessan fakkaatanis, hidhata gadi fagoo kan Dhugeessa Bu'uuraa Shallaggoo (Fundamental Theorem of Calculus) jedhamuun walitti qabataniiru.

Seenaa Shallaggoo

Yaada Durii

Shallaggoon akka meeshaa herregaa haaraatti yoo ilaalameyyuu, bu'uurri isaa qaroomina durii keessatti argama.

Ijiiptii Durii: Ragaan barreeffama durii kan Mooskoo Paappaayiresii jedhamu (ca. 1820 Dh.K.D.), rakkoo herregaa kan hammi qunaa (frustum) ittiin shallagamu agarsiisa. Kunis yaad-rimee shallaggoo wajjummaa kan jalqabaa akka ta'eetti ilaalama.

Mooskoo Paappaayiresii - Rakkoo herregaa 14ffaa kan hammi qunaa ittiin shallagamu agarsiisu.

Giriikii durii: Hayyoonni akka Eudoxus (408–355 Dh.K.D.) fi Archimedes (287–212 Dh.K.D.) tooftaa "mala ittiin fixuu" (method of exhaustion) jedhamu fayyadamuun bal'ina naannoo bocoota xaxamaa shallaguun, bu'uura shallaggoo wajjummaatiif gumaachan.^[1]
Chaayinaa Durii: Liu Hui (Jaarraa 3ffaa) fi Zu Chongzhi (Jaarraa 5ffaa) tooftaa walfakkaataa fayyadamuun hammi duqunqulaa (sphere) akkaataa itti shallagamu agarsiisan.
Jaarraa Giddugaleessaa: Boodarra, jaarraa 11ffaa keessa, hayyuun Arabii Ibn al-Haytham (Alhazen), foormulaa humna afraffaa (fourth power) ida'uuf baase. Jaarraa 12ffaa keessa, hayyuun Pershiyaa Sharaf al-Dīn al-Tūsī babbaafama warroommii kaassadee (cubic function) argate. Jaarraa 14ffaa keessa, herregeessi Indiyaa, Madhava of Sangamagrama, walgaafaa dhummaleessa (infinite series) gosa adda addaa kan shallaggoo keessatti iddoo guddaa qaban, kan akka sarara Taylor (Taylor series), guddisuun beekama.

Hundeeffama Ammayyaa: Newton fi Leibniz

Shallaggoon akka damee herregaa qindaa'aatti kan inni hundeeffame jaarraa 17ffaa dhuma irratti, hayyoota gurguddoo lamaan, Isaac Newton (Ingilaand) fi Gottfried Wilhelm Leibniz (Jarmanii) tiini. Isaan lamaanuu walirraa of danda'anii yeroo wal-fakkaataa keessatti shallaggoo uuman.

Isaac Newton (1643–1727): Shallaggoo akka meeshaa seera sochii (laws of motion) fi harkisa lafaa (gravity) ibsuufatti fayyadame. Hojii isaa keessatti, jijjiirama yeroo wajjin walqabatu (fluxions) irratti xiyyeeffate. Newton seera baay'isuu, seera funfullee, babbaafama ol'aanaa, fi sarara Taylor uume.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716): Caalaatti gama mallattoolee fi yaad-rimee herregaa qofaatti guddisuutti xiyyeeffate. Mallattooleen inni uume, kan akka `dy/dx` babbaafamaaf (derivative) fi `∫` wajjummaaf (integral), salphina isaaniitiin filatamuun hanga har'aatti sadarkaa addunyaatti fayyadama irra jiru.

Hayyoonni lamaan kun sababa "eenyutu dura kalaqe?" jedhuun wal-falmii seena qabeessa keessa galanii turan. Haa ta'u malee, har'a seena-qorattoonni lamaan isaaniituu akka hundeesitootaatti fudhatu.^[2] Boodarra jaarraa 19ffaa keessa, hayyoonni akka Cauchy, Riemann, fi Weierstrass yaad-rimee daangaa jedhuun bu'uura shallaggoo jabeessan.

Yaad-rimeewwan Bu'uuraa

Daangaa fi Shifii (Limits and Infinitesimals)

Shallaggoon yaad-rimee wantoota baayyee xixiqqoo qorachuu irratti hundaa'a. Tooftaaleen bu'uuraa lama jiru:

Shifii (Infinitesimal): Kun yaad-rimee durii kan Newton fi Leibniz fayyadamanidha. Shifiin hanga poozatiivii kan zeeroo caalaa guddaa ta'e, garuu lakkoofsa poozatiivii kamiyyuu caalaa xiqqaa ta'edha. Mallattoon isaa yeroo baayyee dx yoo ta'u, jijjiirama xiqqaa xumura hin qabne agarsiisa. Tooftaan kun hubachuuf ulfaataa waan ta'eef, boodarra hayyootaan dhiifamee ture, garuu jaarraa 20ffaa keessa deebi'ee dagaageera.
Daangaa (Limit): Kun tooftaa ammayyaa fi bal'inaan fudhatama qabuudha. Daangaan wanti tokko yeroo haalli murtaa'aan dhihaatu maal akka ta'u tilmaamuudha. Fakkeenyaaf, warroommiin herregaa `f(x)` yeroo `x` lakkoofsa `c` tti dhihaachaa deemu, `f(x)` oo lakkoofsa `L` tti dhihaata yoo ta'e, `L` daangaa warroommichaa jedhama. Kun bakka warroommiin sun qabxii `c` irratti hiika hin qabnetti illee hojjeta. Yaad-rimeen kun babbaafamaa fi wajjummaa ibsuuf bu'uuradha.

Akkuma fakkeenyaatti, warroommii $y={\frac {x^{2}}{x}}$ haa fudhannu. Yoo `x` bakka 0 buufne, bu'aan isaa 0/0 ta'a, kunis hiika hin qabu. Rakkoo kana furuuf, tooftaa daangaa fayyadamna. `x` gara zeerootti yeroo dhihaachaa deemu, `y` hoo maal ta'a?

Daangaa `x` gara 0	Daangaa `y`
0.1	0.1
0.001	0.001
0.00001	0.00001
0.00000001	0.00000001
$\downarrow$ 0	$\downarrow$ 0

Akka gabateen agarsiisutti, yeroo `x` gara zeerootti dhihaatu, `y`s gara zeerootti dhihaata. Kanaaf, daangaan $y={\frac {x^{2}}{x}}$ yeroo `x` gara 0 dhihaatu, 0 ta'a.

Dameewwan Gurguddoo Shallaggoo

Shallaggoo Garaagarummaa (Differential Calculus)

Shallaggoon garaagarummaa makkii jijjiiramaa battalaa (instantaneous rate of change) qorata. Innis wanta tokko kutaalee shifii (infinitesimal) tti qooduun, akkaataa jijjiiramni yeroo tokko irraa gara isa itti aanutti itti ta'u xiinxala.

Meeshaan isaa inni guddaan babbaafama (derivative) dha. Babbaafamni warroommii tokkoo, makkii warroommichi qabxii murtaa'e tokkotti ittiin jijjiiramu agarsiisa.

Hiika Ji'oomeetirii: Babbaafamni qabxii tokkotti argamu, dhundhula (slope) sarara tuqattoo (tangent line) kan kaarvii warroommichaa qabxii sana irratti tuquudha. Dhundhulli kun hammam kaarvichi ol ykn gad jedhaa akka jiru agarsiisa.

Fakkeenya Akka Saffisaatti: Konkolaataan tokko yeroo `t` keessatti fageenya `d` yoo deeme, babbaafamni fageenyaa yeroo irratti (`dd/dt`), saffisa isaa battala sana keessatti qabu nuuf kenna.

Sararri tuqattoo akka daangaa sarara kutaa (secant line)tti. Babbaafamni dhundhula sarara tuqattoo kanaati.

Mallattoo Leibniz: Mallattoon `dy/dx` jedhu babbaafama `y` gara `x` tiin agarsiisa. Akka fakkeenyaatti, yoo `y = x²` ta'e, `dy/dx = 2x` ta'a.

Dhundhula akka Babbaafamaatti

Sarara qajeelaa kan qixxattoon (equation) y = mx + b ibsamuuf, dhundhulli (slope) isaa yeroo hundumaa `m` dha. `m` kun jijjiirama `y` yeroo `x` jijjiiramu agarsiisa:

m={\frac {{\mbox{Jijjiirama }}y}{{\mbox{Jijjiirama }}x}}={\Delta y \over {\Delta x}}.

Haa ta'u malee, kaarviiwwan qallaa'oo (kan sarara qajeelaa hin taane) dhundhulli isaanii qabxiirraa qabxiitti jijjiirama. Dhundhula qabxii tokkoo beekuuf, shallaggoon garaagarummaa barbaachisa. Yaadrimeen isaa, qabxiiwwan lama kan baayyee walitti dhihaatan kaarvii irraa fudhachuun, dhundhula sarara isaan gidduutti argamuu shallaguudha. Sararri kun "sarara kutaa" (secant line) jedhama.

Fakkeenyaaf, qabxii `(a, f(a))` fi qabxii itti aanu `(a+h, f(a+h))` haa fudhannu, bakka `h` lakkoofsa baayyee xiqqaa ta'etti. Dhundhulli sarara kutaa isaan gidduu jiru:

m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

Dhundhula battalaa qabxii `a` irratti argamu argachuuf, `h` gara zeerootti dhiheessina. Kun daangaa fayyadamuun ta'a:

f'(a)=\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.

Bu'aan kun babbaafama warroommii `f` qabxii `a` irratti jedhama. Ji'oomeetiriidhaan, babbaafamni dhundhula sarara tuqattoo (tangent line) kan kaarvii `f` qabxii `a` irratti tuquudha.

Fakkeenya Shallaggii

Mee warroommii `f(x) = x²` haa fudhannu. Babbaafama isaa qabxii `x=3` irratti haa shallagnu:

{\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6.\end{aligned}}

Kana jechuun, dhundhulli sarara tuqattoo kan kaarvii `f(x) = x²` qabxii (3,9) irratti tuqu 6 dha.

Shallaggoo Wajjummaa (Integral Calculus)

Shallaggoon wajjummaa qoyyaba fuggisoo (inverse operation) kan garaagarummaati. Innis kutaalee xixiqqoo hedduu walitti ida'uun (walitti makuun) waliigala isaa shallaguudha. Yaad-rimeen isaa inni guddaan kuufama (accumulation) hangootaati.

Meeshaan isaa inni guddaan wajjummaa (integral) dha. Wajjummaan hojii ida'uu walitti fufiinsa qabu agarsiisa.

Hiika Ji'oomeetirii: Wajjummaan warroommii tokkoo, bal'ina naannoo sarara kaarvii warroommichaa jalaa fi qilgaasha x-tiin (x-axis) daangeffamee argamu nuuf kenna.

Wajjummaa Murtaa'aa (Definite Integral): Bal'ina kaarvii jalaa daangaa murtaa'e (`a` hanga `b`) gidduutti shallaga. Mallattoon isaa $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ dha.
Wajjummaa Mit-murtaa'aa (Indefinite Integral): Kun babbaafama-fuggisoo (antiderivative) jedhama. Warroommii kan yoo babbaafame warroommii duraanii kennuudha. Mallattoon isaa $\int f(x)\,dx$ dha.

Dhugeessa Bu'uuraa Shallaggoo (Fundamental Theorem of Calculus)

Dhugeessi kun bu'uura shallaggoo ti. Innis dameewwan lamaan (garaagarummaa fi wajjummaa) riqicha cimaadhaan wal-qunnamsiisa. Dhugeessi kun akka agarsiisutti, adda baasuu (differentiating) fi walitti makuun (integrating) qoyyaba fuggisoo (inverse operations) dha. Kana jechuun:

Wajjummaa warroommii tokkoo shallaguuf, babbaafama-fuggisoo isaa barbaaduun gahaadha. Kun adeemsa walxaxaa kutaalee xixiqqoo hedduu ida'uu hambisa.
Yoo warroommii tokko wajjummaa goonee, sana booda babbaafama isaa fudhanne, warroommii jalqabaatti deebina.

{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

(bakka F'n babbaafama-fuggisoo f ta'etti)

Dhugeessi kun hojii Newton fi Leibniz irraa kan madde yoo ta'u, shallaggoo meeshaa herregaa cimaa fi hojiirra ooluu danda'u taasise.

Faayidaa Hojiirra Oolmaa

Shallaggoon damee saayinsii, tekinooloojii, fi hawaasummaa kamuu keessatti meeshaa bu'uuraati.

Fiiziksii: Saffisa battalaa fi fiixinsuu (acceleration) shallaguuf.
Injinariingii: Ijaarsa riqaa (bridges) fi gamoo gurguddoo, dizaayinii konkolaataa fi xiyyaaraa, marsaa elektirikii (electrical circuits), fi tooftaa roobootiksii keessatti fayyada.
Dinagdee: Baasii daangaa (marginal cost), galii daangaa (marginal revenue), fi bu'aa guddisuu (profit maximization) shallaguuf tajaajila.
Kompiyuutara Saayinsii: Giraafiksii kompiyuutaraa, barannoo maashinii (machine learning), fi suuraa qindeessuu (image processing) keessatti iddoo guddaa qaba.
Falasama: Yaadrimeen Hawaa, Yeroo, fi Sochii haala gadi fagoo ta'een akka qoratamu taasisa.

Wabii

↑ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
↑ Boyer, C. B. (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons.

[1] Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7

[2] Boyer, C. B. (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons.

[1]

[2]