Loogarizimii

Caatoowwan warroomii Loogaritmii -- Halluuwwan adda addaa caatoowwan loogaritmii hunde adda addaa qaban bakka bu'u

Loogaarizimiin herrega keessatti warroommii (function) faallaa kan eksaapooneenshiyaaliiti (exponentiation). Warroommiin eksaapooneenshiyaalii lakkoofsa tokko (hundee) ofiin of baay'isuun bu'aa argachuu yoo ta'u, loogaarizimiin immoo gaaffii faallaa ta'e deebisa: "Lakkoofsa tokko (bu'aa) argachuuf, hundee kenname gara aangoo akkamiitti ol kaasuu qabna?" Girkii ykn aangeessaa (exponent) barbaaduuf gargaara jechuudha. Fakkeenyaaf, 2³ = 8 akka ta'e beekna. Loogaarizimiin immoo, "8 argachuuf, 2 yeroo meeqa ofiin of baay'isuu qabna?" gaaffii jedhuuf, "yeroo 3" jechuun deebii kenna.

Loogaarizimiin jaarraa 17ffaa keessa Joon Neeppiyer (John Napier) jedhamuun kalaqame. Kaayyoon isaa inni guddaan herrega walxaxaa kan baay'isuu fi hiruu lakkoofsota gurguddoo, keessattuu qorannoo xinurjii (astronomy) keessatti, salphisuuf ture. Guddinni yaad-rimee kanaa kompiitaraa fi kaalkuleetariin dura herrega saffisaan hojjechuuf gumaacha guddaa taasiseera. Har'as dameewwan saayinsii, injinariingii, fi faayinaansii keessatti faayidaa guddaa qaba.

Hiika fi Unkaa Bu'uuraa

Hiikni loogaarizimii hariiroo isaa kan warroommii eksaapooneenshiyaalii wajjin qabu irratti hundaa'a. Loogaarizimiin warroommii herregaa kan agarsiisu yoo ta’u, aangeessoo hundee kenname tokko lakkoofsa murtaa’e argachuuf gara isaatti ol kaafamuu qaba. Kana jechuun lakkoofsa barbaadame argachuuf hundee sana gara aangoo (power) akkamii ol kaasuu akka qabnu nutti hima.

Yoo b lakkoofsa poozatiivii kan 1 hin taane, fi x lakkoofsa poozatiivii ta'e: Loogaarizimiin x hundee b irratti, kan $\log _{b}(x)$ tiin bakka bu'u, aangeessaa y kan $b^{y}=x$ ta'uudha.

Herrega keessatti loogaarizimiin akka $\log _{b}(x)$ tti barreeffama. Yeroo dubbifamu "loogaarizimii x hundee b irratti" jedhama. Kunis gaaffii, "lakkoofsi hundee b yoo yeroo meeqa ofiin of baay'ifame ykn aangeeffame lakkoofsa x kenna?" jedhu wajjin tokko. Kanaaf, walqixxaattoonni lamaan kun hiika walfakkaataa qabu:

\log _{b}(x)=y\quad \iff \quad b^{y}=x

Fakkeenyaaf:

$\log _{2}(8)=3$ , sababni isaas $2^{3}=8$
$\log _{10}(100)=2$ , sababni isaas $10^{2}=100$
$\log _{3}(81)=4$ , sababni isaas $3^{4}=81$

Walqixxaattoo $\log _{b}(x)=y$ keessatti:

b hundee (base) jedhama.
x lakkoofsa ykn raggaasa (argument) jedhama.
y loogaarizimii jedhama.

Seenaa Gabaabaa

Yaad-rimeen loogaarizimii jaarraa 17ffaa jalqaba saayintistii fi herregaa lammii Iskootilaand, Joon Neeppiyer (John Napier), jedhamuun beeksifame. Bara 1614, Neeppiyer hojii isaa beekamaa kan herrega baay'isuu fi hiruu lakkoofsota gurguddoo gara ida'uu fi hir'isuu salphaatti jijjiiru danda'u maxxanse. Kunis ogeeyyii saayinsii kan akka xinurjii (astronomers) fi ogeeyyii doonii (navigators) kan yeroo dheeraaf herrega walxaxaa irratti yeroo fixan baayyee gargaare.

Neeppiyer irraa ka'uun, herregaan Ingiliffaa Henri Birigs (Henry Briggs) jedhamu yaadicha caalaatti fooyyesse. Birigs loogaarizimii hundee 10 (common logarithm) akka salphaatti hojiirra ooluu danda'u guddise, kunis gabatee loogaarizimii (logarithm tables) uumuuf baayyee gargaare. Gabateen kun kaalkuleetariin ammayyaa osoo hin uumamin dura waggoota dhibbaan lakkaa'amaniif meeshaa herregaa isa guddaa ture. Argannoon loogaarizimii herrega hojjechuu qofa odoo hin taane, guddina saayinsii fi teeknooloojii saffisiisuuf gumaacha olaanaa taasise.

Amaloota/Seerota Loogaarizimii

Loogaarizimiin amaloota herregaa barbaachisoo ta'an kan herrega salphisuuf gargaaran qaba. Seeronni kunniin dalagaa eksaapooneenshiyaalii irraa kan maddanidha. Hunda caalaa warri beekamoon:

Seera Baay'ataa (Product Rule): Loogaarizimiin baay'ataa (product) lakkoofsota lamaa, walitti ida'ama loogaarizimii lakkoofsota sanii wajjin walqixa.

   : $\log _{b}(mn)=\log _{b}(m)+\log _{b}(n)$

Seera Gahee (Quotient Rule): Loogaarizimiin gahee (quotient) lakkoofsota lamaa, garaagarummaa loogaarizimii lakkoofsota sanii wajjin walqixa.

   : $\log _{b}\left({\frac {m}{n}}\right)=\log _{b}(m)-\log _{b}(n)$

Seera Aangoo (Power Rule): Loogaarizimiin lakkoofsa aangoo qabuu, aangeessichi fuulduratti baay'ifamee loogaarizimii lakkoofsichaa wajjin walqixa.

   : $\log _{b}(m^{p})=p\cdot \log _{b}(m)$

Seera Jijjiirraa Hundee (Change of Base Rule): Seerri kun loogaarizimii hundee tokko irraa gara isa kaaniitti jijjiiruuf gargaara. Kunis keessattuu kaalkuleetaroota hundee 10 fi 'e' qofa qabaniif barbaachisaadha.

   : $\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}$

Gosoota Loogaarizimii

Hundeen loogaarizimii kamiyyuu lakkoofsa poozatiivii 1 hin taane ta'uu danda'us, gosoonni lama addatti beekamoo fi hojiirra oolan jiru:

Loogaarizimii Idilee (Common Logarithm): Kun loogaarizimii hundee 10 qabudha. Sirna lakkoofsa keenya kan deesimaalii (base-10) wajjin waan walqabatuuf "idilee" jedhame. Yeroo baayyee mallattoo $\log _{10}(x)$ ykn salphaatti $\log(x)$ tiin barreeffama. Kaalkuleetaroota saayinsii irratti batoonii "log" jedhu dalagaa kana raawwata. Innis dameewwan saayinsii fi injinariingii keessatti bal'inaan tajaajila.

Loogaarizimii Uumamaa (Natural Logarithm): Kun loogaarizimii hundee e qabudha. e dhaabbataa herregaa addaa kan Lakkoofsa Oyler (Euler's number) jedhamu yoo ta'u, lakkoofsi isaa naannoo 2.71828 dha. Innis guddina fi manca'a uumamaa (akka baay'ina ummataa, manca'a raadiyoo'aktiivii) keessatti ofiin mul'ata. Sababa kanaaf "uumamaa" jedhame. Mallattoon isaa $\ln(x)$ dha. Kaalkuleetaroota irratti batoonii "ln" jedhuun argama.

Faayidaa Hojii Irra Oolmaa

Loogaarizimiin herrega salphisuu qofaaf odoo hin taane, dameewwan adda addaa keessatti faayidaa guddaa qaba:

Keemistirii: gulantaa pH, kan sadarkaa dhangaggeentummaa (acidity) bulbula tokkoo safaru, gulantaa loogaarizimii hundee 10 fayyadama.
Fiiziksii: Cimina sagalee (decibels - dB) fi guddina kirkira lafaa (Richter scale) safaruuf gulantaa loogaarizimii tajaajila.
Injinariingii: Mallattoo elektirikii fi yaa'a anniisaa ibsuuf fayyada.
Faayinaansii: Shallaggii dhala wal-irra tuulamee (compound interest) fi guddina investimantii keessatti barbaachisaadha.
Saayinsii Kompiitaraa: Walxaxina algoorizimootaa (algorithm complexity) safaruuf tajaajila.
Muuziqaa: Garaagarummaan sadarkaa sagalee (pitch) noota muuziqaa gidduu jiru hariiroo loogaar-izimii qaba.

Jechoota Walqabatan

Jijjiiramaa (Variable): Mallattoo kan gatii herregaa hin beekamne ykn jijjiiramuu danda'u bakka bu'u (fkn, x, y).
Warroommii (Function): Hariiroo galtee fi bu'aa gidduu jiru; galteen tokko bu'aa tokko qofa qaba.
Kaaslamee (Square): Bu'aa lakkoofsi tokko ofiin baay'ifamu (fkn, 3² = 9).
Hundee Lamee (Square Root): Lakkoofsa yoo ofiin baay'ifame lakkoofsa kenname kennu (fkn, √9 = 3).
Maxxantoo (Coefficient): Lakkoofsa jijjiiramaa fuuldura jiraatee baay'isu (fkn, 5x keessatti 5 maxxantoodha).